Скрыть

[tutorial] Решаем капчу с квадратным уравнением в уме

Тут в обсуждении пользы от образования anonymous задаёт вопрос:

> Как ещё я капчу [с квадратным уравнением] решать буду?


Отвечаю: в уме!

Спокойно, без паники! Нам не потребуется ни знание формулы корней квадратного уравнения, ни умение вычислять квадратный корень произвольного числа. Нам всего лишь потребуется умение умножать/делить на 2, 3, 5.

Итак, возьмём простой пример капчи и решим её.

-x² + 3x + 88 = 0 (1)
max(x₁, x₂) = ? (2)

Нам также помогут некоторые априорные знания о корнях этого уравнения. Гляда на исходные коды капчи можно узнать, что корни - это целые числа в диапазоне [-20; 20]. Там же можно прочитать подсказку про теорему Виета, откуда получаем два уравнения (знаки пока игнорируем):

x₁ ⋅ x₂ = 88 (3)
x₁ + x₂ = 3 (4)

Будем делить 88 на 2, пока оба числа не окажутся меньше 20:

88 = 44 ⋅ 2 = 22 ⋅ 4 = 11 ⋅ 8 (5)

Получили два числа 11 и 8 - это модули наших корней. Теперь определим знаки этих чисел. Дабы не запоминать в какой части у Виеты стоит минус просто посчитаем их:

•   знак при коэффициенте у x²,
•   знак при коэффициенте у x,
•   знак у 3 в уравнении (4).

Количество минусов должно быть нечётным. Первые два знака нам очевидны из исходного уравнения (1), а знак у 3 мы вычисляем:

-x² + 3x => 1 "минус" => у 3 в уравнении (4) знак "плюс".
(±11) + (±8) = 3 (6)

Перебирая плюсы и минусы в (6) получаем корректное уравнение:

11 + (-8) = 3 (7)

Следовательно корни нашего исходного уравнения (1) будут:

x₁ = 11 (8)
x₂ = -8 (9)

По условиям (2) нам нужен x₁, т. е. 11. Всё, уравнение решено, вбиваем полученный ответ в поле капчи и смотрим на результат - если сообщение добавлено, значит мы нигде не ошиблись.

Рассмотрим ещё несколько примеров. Для начала возьмём неприведённое уравнение:

-4x² - 128x - 960 = 0 (10)
min(x₁, x₂) = ? (11)

Прежде чем переходить к делению 960 на 2, нам нужно и 960 и 128 поделить на коэффициент при x², т. е. на 4 (знаки игнорируем).

x₁ ⋅ x₂ = 960 : 4 = 480 : 2 = 240 (12)
x₁ + x₂ = 128 : 4 = 64 : 2 = 32 (13)

Ну а теперь поехали:

240 = 120 ⋅ 2 = 60 ⋅ 4 = 30 ⋅ 8 = 15 ⋅ 16 (14)
(±15) + (±16) ≠ (±32) (15)

Не получилось! Ничего страшного, попробуем пересмотреть (14):

15 ⋅ 16 = (5 ⋅ 3) ⋅ (8 ⋅ 2) = (5 ⋅ 2) ⋅ (8 ⋅ 3) = 10 ⋅ 24 = 20 ⋅ 12 (16)
(±20) + (±12) = (±32) (17)

Теперь определим знак у 32: знак должен быть "минус", т. к. -4 и -128 дают два "минуса", а надо либо один "минус", либо три "минуса". Итого, (17) превращается в:

(±20) + (±12) = -32 (18)
-20 + (-12) = -32 (19)

Следовательно корни уравнения (10) будут -20 и -12, из которых условию (11) удовлетворяет -20. Проверяем, вбивая ответ в капчу.

Ещё пару примеров бегло.

-2x² - 48x - 216 = 0
-x² - 24x - 108 = 0
x₁ ⋅ x₂ = 108 = 54 ⋅ 2 = 27 ⋅ 4 = 9 ⋅ 12 = 18 ⋅ 6
-18 + -6 = -24
x₁ = -18
x₂ = -6

-5x² - 155x - 1200 = 0
-x² - 31x - 240 = 0
x₁ ⋅ x₂ = 240 = 16 ⋅ 15 (см. (14))
-16 + -15 = -31
x₁ = -16
x₂ = -15

Сложный пример:

5x² + 180x + 1615 = 0
x² + 36x + 323 = 0
x₁ ⋅ x₂ = 323 = [ээээ..., обратимся к консоли: factor 323] = 17 ⋅ 19
-17 + -19 = -36
x₁ = -17
x₂ = -19

На этом всё. Практикуйтесь, благо есть на чём. Удачи в нелёгком деле деления!

PS: Учим Unicode
00b1 - плюс-минус: ±
2260 - не равно: ≠